suMas INFINItAs

Por   Sergio Rodríguez  (1º Bach B – 2014/15)

Tenemos una sucesión en la que el término general es 2ⁿ. Es decir, tenemos esta expresión:

a_n = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 2ⁿ}

Si tratamos de calcular la suma de sus infinitos términos, nos queda esta otra expresión.

Σ 2ⁿ= ∞   ó   1 +2 +4 +8 +16 +32 +64… = ∞

De aquí podremos extraer factor común a la suma con 1, ya que cualquier cosa multiplicada por uno es la misma cosa (1 es el elemento neutro del producto del conjunto  R de números reales). Nos queda la siguiente expresión:

1(1 +2 +4 +8 +16 +32 +64…) = ∞

Como es obvio, 1 = 2-1. Sustituimos entonces en ese uno del que hemos sacado factor común.

(2-1)(1 +2 +4 +8 +16 +32 +64…) = ∞

Una vez llegados a este punto, multiplicados entre paréntesis: el dos por todos los términos infinitos y el menos uno igual, y todos ellos sumados.

(…-128 -64 -32 -16 -8 -4 -2 -1 +2 +4 +8 +16 +32 +64 +128…) = ∞

Aquí ya hay algo que se nos escapa, ya que 128-128 es cero, y 64-64 también lo es… así hasta que hemos acabado con todos los números de nuestra sumas… ¿todos? ¡No! El -1 queda libre. Eso significa que: …+0+0+0+0+0+0-1 = -1. La suma de los infinitos términos de esa sucesión… ¡es -1! Representadomatemáticamente:

(… -128-64-32-16-8-4-2-1+2+4+8+16+32+64+128…) = -1

Y desde luego, ∞ = -1 es completamente falso: ∞≠-1 Entonces… ¿dónde está el error? Es más… ¿hay algún error? ¿Son las matemáticas exactas entonces?

sOLucIoN

Desde luego, es un error. Por el momento, las matemáticas no tienen contradicciones así. Entonces… ¿dónde está el error?

Primero, deberíamos aclarar que el ∞ no es un número como tal, sino solo un concepto. Por ejemplo, no es lo mismo sumar todos los números positivos que sumar sólo los números pares positivos. Ambas sumas tienen como solución ∞, pero no valen lo mismo, ¿verdad?

Sabiendo eso, debemos tener en cuenta otro error. ¡Nos hemos olvidado de un número! ¿Cuál? Retomemos el problema justo después de afirmar que 1=2-1.

(2-1)(1 +2 +4 +8 +16 +32 +64…) = ∞

Vamos a hacerlo por separado.

2(1 +2 +4 +8 +16 +32 +64…)

(-1)(1 +2 +4 +8 +16 +32 +64…)

Vamos a ser un poco más exactos, y a poner en esa suma su término máximo, que como no se sabe porque es infinitamente grande, ponemos su término general.

2(1 +2 +4 +8 +16 +32 +64…+2ⁿ)

(-1)(1 +2 +4+8 +16 +32 +64…+2ⁿ)

Desarrollamos ambas multiplicaciones, y nos queda esto:

(2 +4 +8 +16 +32 +6 +128…+2ⁿ+2×2ⁿ)

(-1 -2 -4 -8 -16 -32 -64…-2ⁿ)

Algo ha cambiado. Al multiplicar por dos, en el primer desarrollo, nos aparece un nuevo término, ese número que nos faltaba, el término general multiplicado por dos. Eso es igual al siguiente término, porque como cada término es el anterior multiplicado por dos, poner 2×2n es lo mismo que poner 2n+1(2×2 = 2n+1n) y eso sí que no aparece en la segundo expresión. Entonces la suma,bien hecha tras tachar todos los números iguales con distinto signo, queda al final como:

-1 +2ⁿ⁺¹ = ∞

Y como ese 2ⁿ⁺¹ dijimos antes que era el término más grande que había y que era infinitamente grande, 2ⁿ⁺¹ = ∞. A lo mejor ahora alguien puede decir: “Pero es que entonces… ¡queda que -1 + ∞ = ∞!”

Eso se explica fácilmente, pero hay que creérselo sin más. Como resulta que antes dijimos que infinito NO es un número, no se puede sumar con el igual que con el resto. Piensa esto. Si a un mar infinitamente grande le añades una gotita de agua… ¿se nota? Es más infinito o menos que antes? No, ¿verdad? Pues esto es lo mismo, 1 + ∞ = ∞. Y entonces llegaría otro y diría: “Pero ∞-∞ no puede ser 1… ¿no debería ser 0?” Estamos en un caso parecido; como ∞ no es un número sino un concepto, no podemos saber cuánto es ∞ - ∞, porque no sabemos qué infinito es más grande. Es lo mismo que cuando comentamos que no es lo mismo la suma de todos los positivos que la de solo los pares positivos; por ello, ∞ - ∞ puede ser 0, o 1 o cualquier cosa: es indeterminado.